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新素数定理
New Prime Number Theorem

古典的な素数定理を「Poisson-Laplace恒等式」として厳密化するアプローチです。常に正の値をとる「Fejér-Yukawa (FY) 窓」を用いて素数分布の「UWP（一様な正定値性）」を証明し、「一定区間ごとに素数が存在する」という強力な局所的定理を、リーマン予想の零点の位置に依存せず導きます。

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This is an approach that rigorously reformulates the classical Prime Number Theorem as a Poisson–Laplace identity.

By employing a strictly positive Fejér–Yukawa (FY) window, we establish the Uniform Windowed Positivity (UWP) of the prime distribution. From this, we derive a strong local theorem — namely, that primes exist within every prescribed interval — without relying on the location of the zeros of the Riemann Hypothesis.

この理論的枠組みは、単なる存在証明にとどまりません。Fejér–Yukawa (FY) 窓による局所化は、解析的構造をそのまま計算可能な形へと移し替えることができます。以下のデモは、この「グローバルな構造を有限窓へ置き換える」という発想が、実際の数値計算においてどのように機能するかを示す最小実装例です。理論で用いた FY 窓と同型の構造が、長距離総和を有限 FFT 畳み込みへと変換し、同一精度保証のもとで計算量を削減する様子を確認できます。

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This theoretical framework does not remain at the level of existence results.
The localization provided by the Fejér–Yukawa (FY) window can be transferred directly into a computational form.

The demo below illustrates how the principle of replacing global structure with a finite window operates in numerical practice. The same FY-type structure used in the theory transforms a long-range global sum into a finite FFT convolution, achieving reduced computational cost under an identical precision guarantee.

本理論のFejér–Yukawa窓に関する一様正性（UWP）をさらに強化した仮定（UWP±）のもとでは、explicit formulaの有限性と“ニードル構成”を用いることで、リーマン予想が十分条件として導かれることも示しています。詳細は下記解説記事をご参照ください。

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Under a strengthened Uniform Window Positivity assumption (UWP±) on the Fejér–Yukawa class, we further show that the Riemann Hypothesis follows as a sufficiency-only consequence via finite explicit-formula reduction and a “needle construction.” For a detailed exposition, see the linked article below.

ChatGPT Image 2025年10月31日 12_14_42.png

新素数定理 (A Fejér–Yukawa Window Prime Theorem) について

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　素数定理を、有限で検証可能な「ポジティブな世界」で証明するGhostDrift数理研究所は、古典的な素数定理（PNT）を、リーマン予想（RH）や零点の複素解析に依存しない、全く新しい形で再定式化しました。これが「Fejér–Yukawa窓付き素数定理」です。これは、無限に広がる素数の世界を「有限の窓」で捉え、その「正性（Positivity）」を証明することで、素数の存在を保証する、検証可能なアプローチです。


1. 出発点：素数定理を「場の方程式」へ

　私たちは、まず素数定理の土台である明示公式を、「素数重力」の理論に基づき、Poisson-Laplace方程式（Lλ
U λ =μ+μ ∞ ）  という「場の方程式」として厳密に書き換えました。μ ＝ 素数の「源（Source）」μ ∞  ＝ 無限遠の影響（アルキメデス項）Uλ  ＝ 素数が生み出す「場（ポテンシャル）」この定式化により、無限遠の影響 μ ∞ はもはや「問題」ではなく、素数 μ と同等に扱う「源」の一部となります 。


2. 鍵となる道具：Fejér–Yukawa (FY) 有限窓

　この「場」 U λ  を解析するために、私たちは「Fejér–Yukawa (FY) カーネル」という特別な“測定器”を開発しました 。
　・Yukawaカーネル (G λ ): 物理学の「湯川ポテンシャル」に由来し、遠くの影響を指数関数的に減衰させ、解析を局所的（Local）にします 。
　・Fejérカーネル (W Ξ ): フーリエ解析における古典的な「窓」であり、「常に正の値（非負）である」という極めて強力な性質を持ちます 。この二つを組み合わせた Fejér–Yukawa (FY) 窓もまた、常に正の値（非負）となり、「波」の性質を符号を反転させずに（Sign-Preserving） 捉えることができます。

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3. 証明の核心：有限決定性と「窓付き正定値性 (UWP)」

　この「正の窓」を通して「場」 U λ  を観測すると、二つの重要な事実が明らかになります。

　・有限決定性 (Finite Determination): 私たちが観測する「場」の大局的な振る舞い（低周波成分）は、実はごく少数の「初期の素数」だけでほぼ決定されており、無限遠にある巨大な素数の影響は指数関数的に無視できることを証明しました 。

　・一様な窓付き正定値性 (UWP): Fejér–Yukawa という「正の窓」を使うことで、解析的な無限和（素数側）が、負の値をとる項（アルキメデス側）を常に上回り、観測されるポテンシャル U λ  が全体として「正（非負）」であることを保証します 。

 

4. 結論：「新素数定理」の誕生

　「ポテンシャルが正である」というこのUWPの帰結は、その「源」である素数について、非常に強力な結論を導きます。それが「Fejér–Yukawa窓付き素数定理」 です。これは、「対数軸上で一定の幅の『窓』をどこに置いても、その窓の中には必ず素数（の寄与）が存在する」 ことを保証するものです。これは、古典的な素数定理（無限遠で x/logx に近づく）よりもはるかに強力な、局所的な存在保証となります。

　なぜこれが画期的なのか？この「新素数定理」は、証明の「手法」において、従来の常識を覆しています。RHフリー ＆ ゼロ・フリー: この証明は、リーマン予想（RH）を一切仮定しません。また、従来解析的整数論の中心であったゼータ関数の零点（ゼロ）の複雑な解析を必要としません 。有限性と検証可能性: 無限の和や無限遠の境界の問題は、「有限の窓」の中での「正性の検証」という問題に置き換えられました。この検証は、「有限の証明書（Finite Certificate）」と、厳密な誤差評価（外向き丸め）によって、計算機で検証可能（Machine-Checkable） です。GhostDrift数理研究所は、この「新素数定理」によって、素数研究を「無限の解析」から「有限の検証可能な科学」へと導きます。

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備考：より詳しい理論の詳細はこちらのプレプリント論文をご覧ください

​論文タイトル「The Prime Number Theorem as an Exact Poisson--Laplace Identity」​

▽AI査読証明（プレプリント論文） 本プレプリント論文は、3つの独立したAI（ChatGPT-5 Thinking, Gemini Pro, Copilot）を用いたクロスレビュー・フレームワークによる検証を完了しています。 ※プレプリント論文内にもAI査読証明書を添付しています。​​​

The New Prime Number Theorem

(A Fejér–Yukawa Window Prime Theorem)​​​​

GhostDrift Mathematical Institute proves the Prime Number Theorem within a finite, verifiable, and positive framework. We have reformulated the classical Prime Number Theorem (PNT) into an entirely new form that does not depend on the Riemann Hypothesis (RH) or on complex analysis of zeta zeros.

This reformulation is the Fejér–Yukawa Window Prime Theorem.

It captures the infinite world of primes through a finite window and guarantees the existence of primes by proving positivity, yielding a computationally verifiable approach.

1. Starting Point: Rewriting the Prime Number Theorem as a Field Equation

We begin by rigorously rewriting the explicit formula underlying the PNT, based on the theory of Prime Gravity, as a Poisson–Laplace field equation:

LλUλ=μ+μ∞L_\lambda U_\lambda = \mu + \mu_\inftyLλ​Uλ​=μ+μ∞​

  • μ\muμ = the prime “source”

  • μ∞\mu_\inftyμ∞​ = the influence from infinity (Archimedean term)

  • UλU_\lambdaUλ​ = the “field” (potential) generated by primes

Under this formulation, the contribution from infinity μ∞\mu_\inftyμ∞​ is no longer a pathological boundary issue. It becomes a source term treated on equal footing with the primes themselves.

2. The Key Tool: The Fejér–Yukawa (FY) Finite Window

To analyze the field UλU_\lambdaUλ​, we developed a special analytical instrument: the Fejér–Yukawa (FY) kernel.

  • Yukawa kernel GλG_\lambdaGλ​
    Derived from the Yukawa potential in physics, it exponentially damps distant influence, rendering the analysis fundamentally local.

  • Fejér kernel WΞW_\XiWΞ​
    A classical Fourier-analytic window with a crucial property: it is always non-negative.

When combined, the Fejér–Yukawa window remains non-negative and captures wave structure while preserving sign. This positivity is the central mechanism of the theory.

3. Core of the Proof: Finite Determination and Uniform Windowed Positivity (UWP)

Observing the field UλU_\lambdaUλ​ through this positive window reveals two fundamental facts:

• Finite Determination

The global behavior (low-frequency components) of the observed field is essentially determined by only a small number of initial primes. Contributions from extremely large primes decay exponentially and become negligible.

• Uniform Windowed Positivity (UWP)

Because the Fejér–Yukawa window is strictly non-negative, the analytic infinite sum (prime side) always dominates the negative Archimedean contribution.

As a result, the observed potential UλU_\lambdaUλ​ is guaranteed to be non-negative.

4. Conclusion: Birth of the “New Prime Number Theorem”

The positivity of the potential (UWP) implies a powerful conclusion about its source—the primes themselves. This yields the Fejér–Yukawa Window Prime Theorem:

For any fixed-width window placed along the logarithmic axis, there always exists prime contribution within that window.

This provides a strong local existence guarantee—far stronger than the classical asymptotic statement that π(x)∼x/log⁡x\pi(x) \sim x/\log xπ(x)∼x/logx at infinity.

Why Is This Breakthrough?

The novelty lies in the method of proof:

• RH-Free and Zero-Free

The proof does not assume the Riemann Hypothesis and does not require detailed analysis of zeta zeros.

• Finite and Verifiable

Infinite sums and boundary-at-infinity issues are replaced by verification of positivity within a finite window.

This verification is supported by:

  • Finite certificates

  • Rigorous outward rounding

  • Machine-checkable computational validation

Through the New Prime Number Theorem, GhostDrift Mathematical Institute transforms prime research from “infinite analytic speculation” into a finite, verifiable scientific framework.

Note:
For full technical details, please refer to the preprint:

“The Prime Number Theorem as an Exact Poisson–Laplace Identity”

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