なぜ「有限窓」が素数計算を3倍速く、2倍安定させるのか？

kanna qed
6 時間前
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― GhostDrift数理研究所、Fejér–Yukawa (FY) UWPの圧倒的優位性を実証 ―

素数の分布を調べる計算（例えば、リーマン予想の「明示公式」）には、これまで根本的な問題が2つありました。

「無限」の計算コスト: 素数は無限に続くため、そのすべてを足し合わせるような従来の計算（全域和）は、計算量が O(N⋅∣T∣) となり、膨大な時間がかかります。
「不安定」な結果: 従来の計算は、正の値と負の値が打ち消し合うことで成立しており、計算誤差（桁落ち）やノイズに非常に弱いという宿命を背負っていました。

もし、この「無限」の計算を「有限」の計算で置き換え、さらに「安定的」に実行できるとしたら？

GhostDrift数理研究所（GMI）は、それを実現する「Fejér–Yukawa（FY）窓」を用いた「一様窓正性（UWP）」という新手法について、3つの詳細な技術レポートを発表。その圧倒的な優位性を実証しました。

成果１：圧倒的に「効率的」（3倍以上の資源削減）

新手法の核心は、素数を「有限の窓」で観測することです。では、どんな「窓」でも良いのでしょうか？ GMIは、独自開発した「FY窓」と、一般的な「矩形窓」「乱数窓」の性能を比較しました。

その結果は決定的でした。ある計算の安定度（RMSと負の値の少なさ）の基準を達成するために、

FY窓（新手法）: 必要な素数サンプル N=4,000 で基準をクリア。
矩形窓・乱数窓（従来型）: サンプルを N=12,000 に増やしても基準を達成できませんでした。

これは、FY窓が他の手法に比べ、少なくとも3倍以上「少ない資源（データ量）」で、より安定した答えを出せることを意味します。

成果２：圧倒的に「速く」「安定」する（計算量と収束性）

なぜFY窓はこれほど効率的なのでしょうか？それは2つの仕組みによります。

1. 仕組み（その1）：計算が「速い」 従来の計算 $O(N \cdot |T|)$に対し、新手法は「FFT」という高速化技術と組み合わせることが可能です。これにより計算量は O(MlogM)+O(M⋅∣T∣) という、はるかに緩やかなオーダーに抑制されます。実測でも、計算量の増加（スケーリング傾き）が従来法の約1.0から、新手法では約0.9へと明確に改善することが確認されました。

2. 仕組み（その2）：計算が「安定」する FY窓の最大の特徴は「常に正の値（非負）」であることです。これにより、計算途中で「負のノイズ」が発生し、符号が打ち消し合って誤差が積み重なるという従来手法の根本的な弱点を克服できます。

GMIは、20回ものシード（乱数）を変更した再現性テストを実施。その結果、UWP（正値性）を適用した計算は、しなかった場合に比べ、

エラーの減衰率が統計的に有意に改善
半分の計算時間（反復回数）で同じ精度に到達
計算のブレ（標準偏差）が約半分に抑制

という、圧倒的な安定性が実証されました。

結論： GMIが証明した「有限の力」

一見、「無限」の情報を「有限」の窓で切り取ることは、情報が欠落する「悪い近似」のように思えます。しかし、本研究は、**数学的に正しく設計された「賢い有限窓（FY-UWP）」**を使うことで、元の無限の計算（Sclass）と数学的に等価な答え（Swin）を導き出せることを理論的に証明しました。

この手法は、素数定理やリーマン予想の零点探索といった、これまで計算コストが壁となっていた数論研究を劇的に加速させます。GMIが提唱する「有限閉包」の思想が、理論上だけでなく、実際の計算効率、資源効率、安定性のすべてにおいて圧倒的に優れていることの、強力な実証的証拠です。

▽報告レポート