【特許出願中】GhostDrift検知アルゴリズム公開 ― 評価改変を数理的に検知する非遡及的監査手法

GhostDrift検知アルゴリズム：評価の非遡及性と作用素不変性の数理的定式化

本稿は、機械学習モデルの運用監視における新たな概念「GhostDrift」を数理的に定義し、その検知アルゴリズムの正当性を証明するものである。GhostDriftとは、データ分布やモデル性能の変化（従来のData/Concept Drift）ではなく、評価そのものを定義する枠組み（評価計画、サンプリング、メトリクス定義など）が意図的あるいは過失により改変される現象を指す。本稿では、評価を「作用素」として定式化し、その不変性を暗号学的コミットメントと区間解析を用いて保証する枠組みを構築する。さらに、観測された性能変化を「データ起因」と「作用素起因」に厳密に分解し、作用素改変の必要性（Ghost-Necessity）を証明書として出力するアルゴリズムを導出する。

第1章 世界の定義と評価作用素

1.1 空間とレコードの定義

特徴空間を $\mathcal{X}$、ラベル空間を $\mathcal{Y}$、メタデータ空間を $\mathcal{M}$、時間領域を $\mathcal{T} \subseteq \mathbb{R}$ とする。 単一の観測レコード $r$ を以下の直積空間の元として定義する。

$$r = (x, y, m, t) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y} \times \mathcal{M} \times \mathcal{T}$$

定義 1.1 (評価ストア Evaluation Store) 評価ストア $S$ を、レコードの有限集合として定義する。

$$S = \{r_i\}_{i=1}^N$$

ここで各レコードは一意なIDを持ち、ストアは追記可能であるが、過去のレコードの改変は定義上「別なストアへの遷移」とみなす。

1.2 Freshness サンプリングと誘導測度

従来の「固定テストセット」を排し、運用ログから動的に評価集合を生成するために、時間減衰重み（Freshness）を導入する。

定義 1.2 (Freshness 重み) 監査時刻 $t_{\text{now}} \in \mathcal{T}$ に対し、レコード $r$ の鮮度重み $w_t(r)$ を以下で定義する。

$$w_t(r) = \exp\left( - \frac{t_{\text{now}} - r.t}{\tau} \right) \quad (\tau > 0)$$

ここで $\tau$ は減衰パラメータである。

定義 1.3 (サンプリング分布) ストア $S$ 上の確率測度（サンプリング分布） $p_t$ を以下で定義する。

$$p_t(r) = \frac{w_t(r) \cdot \mathbb{I}[r \in S \land C(r)]}{\sum_{u \in S} w_t(u) \cdot \mathbb{I}[u \in S \land C(u)]}$$

ここで $C(r)$ は評価対象条件（フィルタ）を表す論理関数である。

1.3 評価作用素

モデルを $f_\theta: \mathcal{X} \to \hat{\mathcal{Y}}$、損失関数（メトリクス）を $\ell: \hat{\mathcal{Y}} \times \mathcal{Y} \times \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ とする。

定義 1.4 (評価作用素 Evaluation Operator) 評価計画 $P$（後述）と時刻 $t$ の下で、ストア $S$ とモデル $\theta$ を実数値（またはその区間）に写す作用素 $E_{P,t}$ を定義する。

$$E_{P,t}(S, \theta) := \text{Agg}\left( \{ \ell(f_\theta(r.x), r.y, r.m) \}_{r \sim p_t} \right)$$

ここで $\text{Agg}$ は集約関数（平均、分位点など）である。 期待値評価の場合、点値は以下となる。

$$\mu(P; S, t, \theta) := \sum_{r \in S} p_t(r) \cdot \ell(f_\theta(r.x), r.y, r.m)$$

第2章 非遡及性とコミットメント

評価枠組みが「後出し」で変更されないことを保証するために、評価計画そのものを固定する。

2.1 評価計画とコミットメント

定義 2.1 (評価計画 Evaluation Plan) 評価計画 $P$ を、評価作用素を一意に決定するパラメータの組とする。

$$P = (C, \tau, n, \text{Method}, \ell, \text{Agg}, \text{SeedPolicy}, \text{Thresholds}, \dots)$$

定義 2.2 (コミットメント) 正規化写像 $\text{Canon}(\cdot)$ と暗号学的ハッシュ関数 $H(\cdot)$ を用いて、計画 $P$ のコミットメント $c(P)$ を定義する。

$$c(P) := H(\text{Canon}(P))$$

この $c(P)$ は、評価作用素の同一性（Identity）を固定する識別子となる。

2.2 GhostDrift の定義

定義 2.3 (GhostDrift - 二値) 実行時に使用された計画を $P_{\text{run}}$、事前にコミットされた計画を $P_{\text{committed}}$ とする。 GhostDrift フラグ $G$ を以下で定義する。

$$G := \mathbb{I}[c(P_{\text{run}}) \neq c(P_{\text{committed}})]$$

$G=1$ は、評価の枠組み自体が改変されたことを意味する。

定義 2.4 (GhostDrift 距離) 計画空間上の距離 $D_{\text{ghost}}$ を導入する。計画 $P$ を離散構造成分 $\sigma$ と連続パラメータ成分 $\alpha \in \mathbb{R}^d$ に分解し、$P=(\sigma, \alpha)$ と表記する。

$$D_{\text{ghost}}(P, P') := \begin{cases} \|\alpha - \alpha'\|_W & (\text{if } \sigma = \sigma' \land c(P) = c(P')) \\ +\infty & (\text{if } \sigma \neq \sigma' \lor c(P) \neq c(P')) \end{cases}$$

ここで $\|\cdot\|_W$ は正定値行列 $W \succ 0$ による重み付きノルム $\sqrt{v^\top W v}$ である。

第3章 区間解析と台帳の健全性

浮動小数点演算の誤差や非決定性を排除し、数学的な「包含（Inclusion）」を保証するために、区間解析（Interval Analysis）を導入する。特に、評価アルゴリズム自体を「台帳生成手続き」として再定義することで、検算と実行の対応を数学的に固定する。

3.1 外向き丸めと区間演算

実数区間の集合を $\mathbb{IR} := \{[a, b] \subset \mathbb{R} \mid a \le b\}$ とする。

定義 3.1 (外向き丸め Outward Rounding) 演算 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ に対する区間拡張 $f^\diamond: \mathbb{IR}^n \to \mathbb{IR}$ は、以下の包含性を満たすものとする。

$$\forall X \in \mathbb{IR}^n, \quad \{ f(x) \mid x \in X \} \subseteq f^\diamond(X)$$

3.2 台帳付き評価アルゴリズム

定義 3.2 (評価手続き Evaluation Procedure) 計画 $P$、時刻 $t$、ストア $S$ に対する評価手続き $\mathcal{A}_{P,t}$ を、区間評価値 $\widehat{E}$ と演算台帳 $L$ のペアを出力する写像として定義する。

$$\mathcal{A}_{P,t}(S) \to \big(\widehat{E}_{P,t}(S), \ L_{P,t}(S)\big)$$

ここで $\widehat{E}_{P,t}(S) = [E^-, E^+]$ は外向き丸めされた評価区間であり、$L_{P,t}(S)$ は計算過程における演算列 $(\text{op}_1, \dots, \text{op}_K)$ である。すなわち、台帳は「後付けのログ」ではなく、アルゴリズムの構成要素として定義される。

定義 3.3 (検算写像 Verify) 各基本演算 $\text{op}_k$ が持つ実数意味論を $\llbracket \text{op}_k \rrbracket$ とする。台帳 $L$ の各行 $\text{op}_k$ が入力区間 $\text{In}_k$ と出力区間 $\text{Out}_k$ を持つとき、検算写像を以下で定義する。

$$\text{Verify}(L) := \bigwedge_{k=1}^K \left( \llbracket \text{op}_k \rrbracket(\text{In}_k) \subseteq \text{Out}_k \right)$$

ここで $\text{In}_k$ は、それ以前の行の出力 $\text{Out}_{j<k}$ または定数から構成される。

定理 3.1 (区間評価の健全性 Soundness) $(\widehat{E}, L) = \mathcal{A}_{P,t}(S)$ であり、かつ $\text{Verify}(L) = \text{true}$ であるならば、無限精度の真の評価値 $E_{\text{true}}(P, t, S)$ は計算された区間 $\widehat{E}$ に必ず含まれる。

$$E_{\text{true}} \in \widehat{E}$$

証明: 帰納法による。$\text{Verify}(L) = \text{true}$ は、台帳内の全ステップにおいて包含性（Definition 3.1）が満たされていることを保証する。台帳 $L$ は手続き $\mathcal{A}$ によって生成され、その最終出力が $\widehat{E}$ であるため、演算の合成に関する包含性より定理が成り立つ。 $\square$

第4章 後付け最適化耐性と情報構造

評価計画 $P$ の更新が「結果を見てから行われる（Goodhartの法則）」ことを防ぐための条件を定式化する。

4.1 情報 Filtration

時刻 $t$ における全情報を $\mathcal{F}_t$ とする。これを Calibration（学習・検証用）情報 $\mathcal{F}_t^{\text{cal}}$ と Test（運用評価用）情報 $\mathcal{F}_t^{\text{test}}$ に分離する。

4.2 非予見的更新 (Non-anticipative Update)

定義 4.1 (許容される更新) 評価計画の更新系列 $\{P_t\}_t$ が正当であるとは、更新写像 $\text{Upd}$ が $\mathcal{F}_t^{\text{cal}}$ に関して可測（adapted）であり、$\mathcal{F}_t^{\text{test}}$ に依存しないことを指す。

$$P_{t+1} = \text{Upd}(P_t, \mathcal{F}_t^{\text{cal}})$$

これを破ることは、未来のテストデータ（または隠されたテストラベル）を見て評価基準を変更すること（Peeking）と同義であり、GhostDriftの一形態とみなされる。

第5章 最小改変（Minimal Ghost-Drift）の幾何

評価結果（判定）を覆すために必要な「最小の計画改変量」を定量化する。

5.1 判定関数と境界

判定関数 $\text{Dec}(P) \in \{\text{OK}, \text{NG}\}$ を、区間上側 $E^+(P)$ と閾値 $\vartheta$ を用いて以下で定義する（保守判定）。

$$\text{Dec}(P) = \text{OK} \iff E^+(P) \le \vartheta$$

決定境界関数を $g(P) := E^+(P) - \vartheta$ と置く。

5.2 最小改変問題

現在の計画 $P=(\sigma, \alpha)$ で $\text{Dec}(P)=\text{OK}$ であるとき、判定を $\text{NG}$ に反転させる最小改変 $\Delta^*$ は以下で定式化される。

$$\Delta^*(P) := \inf_{\alpha'} \|\alpha - \alpha'\|_W \quad \text{s.t.} \quad g(\sigma, \alpha') > 0$$

定理 5.1 (閉形式解) 境界 $g(\alpha)=0$ が局所的に線形近似可能（$g(\alpha+\delta) \approx g(\alpha) + \nabla g^\top \delta$）であるとき、最小改変距離は以下で与えられる。

$$\Delta^* \approx \frac{|g(\alpha)|}{\sqrt{\nabla g(\alpha)^\top W^{-1} \nabla g(\alpha)}}$$

特にパラメータが閾値 $\vartheta$ のみの場合、$\Delta^* = |E^+ - \vartheta|$（マージンそのもの）となる。

第6章 Freshness感度と厳密単調性

連続パラメータに対する評価値の挙動を、共分散構造を用いて厳密に解析する。

6.1 共分散としての勾配

一般化された重み $p_i(\alpha) = \frac{e^{\alpha^\top \phi_i}}{\sum_j e^{\alpha^\top \phi_j}}$ の下で、期待評価 $\mu(\alpha)$ の勾配は共分散となる。

定理 6.1 (共分散勾配とLipschitz定数) 勾配は以下で与えられる。

$$\nabla_\alpha \mu(\alpha) = \text{Cov}_{p(\alpha)}(L, \phi) = \mathbb{E}_p[L \phi] - \mathbb{E}_p[L]\mathbb{E}_p[\phi]$$

さらに、損失が有界 $L \in [0, B]$ であるとき、作用素のLipschitz定数 $L_{\text{op}}$（距離 $\|\cdot\|_W$ に対する評価差の感度）は以下の幾何量で上から押さえられる。

$$L_{\text{op}} := \sup_{\xi} \|\nabla \mu(\xi)\|_{W^{-1}} \le \frac{B}{2} R_{\text{diam}}$$

ここで $R_{\text{diam}}$ は重み付き直径であり、双対ノルム $\|\cdot\|_{W^{-1}}$ を用いて定義される。

$$R_{\text{diam}} := \sup_{i,j} \|\phi_i - \phi_j\|_{W^{-1}} = \sup_{i,j} \sqrt{(\phi_i - \phi_j)^\top W^{-1} (\phi_i - \phi_j)}$$

証明: 勾配の双対ノルムは $\|\nabla \mu\|_{W^{-1}} = \|\text{Cov}(L, \phi)\|_{W^{-1}}$。 共分散の性質より $|\text{Cov}(L, \phi)| \le \mathbb{E}[|L-\mathbb{E}L| \cdot |\phi-\mathbb{E}\phi|]$。 $L \in [0, B]$ より $|L-\mathbb{E}L| \le B/2$。 よって $\|\nabla \mu\|_{W^{-1}} \le \frac{B}{2} \sup \|\phi - \mathbb{E}\phi\|_{W^{-1}} \le \frac{B}{2} \sup_{i,j} \|\phi_i - \phi_j\|_{W^{-1}}$。 $\square$

6.2 同順性（Comonotonicity）による単調性確定

補題 6.2 (同順性) 任意の $i, j$ について $(L_i - L_j)(\phi_i - \phi_j) \ge 0$ （損失と特徴の順序が一致）ならば、任意の分布 $p$ において $\text{Cov}_p(L, \phi) \ge 0$ である。

定理 6.3 (根の一意性) 同順性が成立する場合、関数 $\mu(\alpha)$ （1次元パラメータ $\alpha$）は単調増加である。したがって、境界方程式 $\mu(\alpha) - \vartheta = 0$ の解 $\alpha^*$ は存在すれば一意であり、二分法等により任意の精度で厳密解（の包含区間）を計算できる。

第7章 二重ドリフト分解と必然性フロンティア

観測された性能変化を「データの変化」と「作用素の変化」に分解し、**「データだけでは説明がつかない」**領域を数学的に特定する。

7.1 二重ドリフト分解

2つの監査状態 $A_1=(P_1, S_1), A_2=(P_2, S_2)$ 間の観測された評価差 $\Delta_{\text{obs}}$ は、三角不等式により分解される。

$$\Delta_{\text{obs}} := |\mu(A_2) - \mu(A_1)| \le \underbrace{|\mu(P_1, S_2) - \mu(P_1, S_1)|}_{\Delta_{\text{data}}} + \underbrace{|\mu(P_2, S_2) - \mu(P_1, S_2)|}_{\Delta_{\text{op}}}$$

7.2 Lipschitz 構造の導出

データ側 Lipschitz: データ間距離 $D_{\text{data}}$ として、誘導分布間の全変動距離（Total Variation） $\text{TV}(p(S_1), p(S_2))$ を採用する。損失が $L \in [0, B]$ に有界ならば、以下が成立する。

$$\Delta_{\text{data}} \le B \cdot D_{\text{data}}(S_1, S_2)$$

作用素側 Lipschitz: 作用素間距離 $D_{\text{op}}$ を $\|\alpha_2 - \alpha_1\|_W$ とする。定理6.1で導出した上界より、以下が成立する。

$$\Delta_{\text{op}} \le \frac{B}{2} R_{\text{diam}} \cdot D_{\text{op}}(P_1, P_2)$$

これにより、抽象的なLipschitz定数ではなく、ストアの幾何量 $R_{\text{diam}}$ に基づく具体的な不等式が得られる。

7.3 Ghost-Necessity Frontier (必然性フロンティア)

データ側の変化許容量（予算）を $d$ としたとき、観測差 $\Delta_{\text{obs}}$ を説明するために最低限必要な作用素改変量 $\Omega(d)$ の下界を導出する。ただし、計画のコミットメントが一致している場合に限る。

定義 7.1 (Ghost-Necessity 下界 - 量的ドリフト) $c(P_1) = c(P_2)$ の場合：

$$\Omega(d) \ge \frac{2 (\Delta_{\text{obs}} - B \cdot d)^+}{B \cdot R_{\text{diam}}}$$

ここで $(x)^+ = \max(x, 0)$。この定理は、「データが距離 $d$ まで変わったと仮定しても、なお作用素をこれだけ変えないと今の数字は出ない」ことを数学的に断言する。 $c(P_1) \neq c(P_2)$ の場合は、定義上 $\Omega(d) = +\infty$ とする（ID Drift）。

第8章 証明書（Certificate）の構築

以上の理論を、第三者が検算可能なデータ構造（証明書）に落とし込む。判定ロジックは「ID不一致」と「量的ドリフト」の二層構造をとる。

8.1 証明書構造 $C$

証明書 $C$ は以下のタプルである。

$$C = (\text{FreezeID}, S_1^{\text{ref}}, S_2^{\text{ref}}, \Delta^{\text{LB}}, d^{\text{UB}}, R^{\text{UB}}, \Omega^{\text{LB}}, \text{LedgerHash})$$

8.2 検算可能下界の生成アルゴリズム

1. 観測差の下界 $\Delta^{\text{LB}}$: 区間評価 $E^\diamond_1=[l_1, u_1], E^\diamond_2=[l_2, u_2]$ から、

   $$\Delta^{\text{LB}} = \max(0, l_2 - u_1, l_1 - u_2)$$

   を計算する。

2. 幾何量の上界 $R^{\text{UB}}$ (ノルム整合版): パラメータ重みを対角行列 $W = \text{diag}(w_a, w_s, w_c)$ とし、双対ノルム $\|\cdot\|_{W^{-1}}$ を用いる。ストア内の特徴 $\phi = (-a, s, c)$ の各成分レンジ $A, S, C$ に対し、

   $$R^{\text{UB}} = \frac{A^{\diamond}}{\sqrt{w_a}} + \frac{S^{\diamond}}{\sqrt{w_s}} + \frac{C^{\diamond}}{\sqrt{w_c}}$$

   を計算する。これにより $R_{\text{diam}} \le R^{\text{UB}}$ が次元的にも整合して保証される。

3. 必然性下界 $\Omega^{\text{LB}}$: コミット一致時において、データ予算 $d$ に対し、

   $$\Omega^{\text{LB}}(d) = \frac{2 (\Delta^{\text{LB}} - B \cdot d)^+}{B \cdot R^{\text{UB}}}$$

   を区間演算（下限）として計算する。

8.3 結論：二層ドリフト判定

証明書の検証結果 $\text{DriftVerdict}$ は以下の論理和で定義される。

$$\text{DriftVerdict} := \underbrace{\mathbb{I}[c(P_1) \neq c(P_2)]}_{\text{ID Drift (G1)}} \lor \underbrace{(\Omega^{\text{LB}}(d) > 0)}_{\text{Quantitative Drift}}$$

• ID Drift: そもそも評価計画のコミットメントが異なる場合、即座にGhostDriftと判定される。

• Quantitative Drift: コミットメントは一致しているが、データの許容変動 $d$ を超える性能変化があり、かつそれが数理的に作用素の改変（パラメータ変更）なしには説明不可能な場合、GhostDriftと判定される。

これにより、GhostDrift 検知アルゴリズムは数学的に閉じた完全な体系となる。

※特願2025-275211で出願