なぜAI安全性にゼータ関数が必要なのか—原因と結果を分離し、責任境界を定義する数学—

現在のAI安全性における危機は、単なるアライメント（整合性）や制御の不全ではなく、有限の現場で「責任」を確定しきれない点にある。強化学習（RLHF）や解釈可能性（Interpretability）研究は大きな成果を上げてきたが、その多くは統計的収束の見通し（学習量が増えれば誤差が小さくなる）に依存している。ところが金融や医療、自動運転といったハイステークス環境では、有限時間・有限データの制約のもとで、説明と責任を“その場で”停止できる構造が必要になる。

本レポートは、その停止構造の最も厳格な原型が、リーマン・ゼータ関数（$\zeta(s)$）に含まれる「結果（整数）」と「原因（素数）」の分離、および対数微分による原因抽出の機構にあることを示す。物理学における「繰り込み群」が近似とカットオフを通じて無限を処理するのに対し、ゼータ関数は明示公式を通じて素数と零点の間で情報の双対性を維持する。この数学的構造を工学的に実装しようとする試みが、ADIC（Arithmetic Digital Integrity Certificate）やGhostDrift理論に代表される「台帳（Ledger）」アプローチである³。計算ステップを「素数（責任の原子単位）」として扱い、有限閉包を用いて無限後退を縛るこのフレームワークは、確率論や熱力学とは異なるアプローチで、AIの説明責任に対する数学的に厳密な「停止定義」を提供する。

第I部：AI安全性の本丸——「無限への先送り」が起こる場所

1.1 「なぜ」をどこで止めるか：無限後退の問題

現代のAIシステム、特に大規模言語モデル（LLM）や自律エージェントにおいて、「なぜその判断に至ったのか」という問いに対する答えは、しばしば無限に後退するリスクを孕んでいる¹。数十億のパラメータの中に要因が拡散しており、特定の「原因」を指し示すことが構造的に難しいからである。AIが誤った判断を下した際、その原因を重みと活性化関数の複雑な相互作用に求め続けることは、実質的な責任の所在を曖昧にする⁴。

これは哲学における「アグリッパのトリレンマ（無限後退）」と同様の構造である⁵。現在のAI運用において、この後退を止めるために「信頼度スコア（Confidence Score）」などの確率的指標が用いられることが多いが、これはエッジケースを「低い確率」として扱うことで、有限の「いま・ここ」での判断を保留する側面がある²。

GhostDrift数理研究所は、この構造を「構造的な先送り（Structural Postponement）」と呼んで警鐘を鳴らしている²。「サンプルサイズ$N$を無限大にすれば誤差は収束する」という極限定理は数学的に正しいが、有限のリソースと時間の中で決断しなければならない現場においては、無限の未来へ解決を委ねることになりかねない。「無限の霧（Infinite Fog）」の彼方に完全な説明を求めるのではなく、どこかで責任を確定させるメカニズムが必要とされている⁷。

1.2 確率論と責任停止の役割分担

確率論は「予測」においては極めて強力なツールであるが、「責任の停止」という目的においては、その役割が異なる。確率的な言明は定義上、「集合（アンサンブル）」についての主張であり、個別の事象に対する確定的な責任を記述するものではない。「99%の確率で安全」という記述は、残りの1%において責任の所在が定義されない余地を残すことにもなる⁸。

また、連続変数と浮動小数点演算に基づくシステムは、その精度を無限に高めることができる一方で、論理的な「切れ目」を作りづらい特性がある。GhostDrift理論では、変動や誤差を含む「過剰（Excess）」な部分と、離散的で検証可能な「骨格（Skeleton）」の部分を明確に分けるべきだと提唱している²。システムがブラックボックス化するのは、内部が複雑であるからだけでなく、責任を止めるための離散的な構造（骨格）が明示されていないからである³。

したがって、AI安全性には確率モデルを否定するのではなく、それを補完する形で「無限を有限で縛る」ための別の数学的レイヤーが必要となる。それが次章で論じるゼータ関数の構造である。

1.3 説明可能性（XAI）の適用限界

現在の説明可能AI（XAI）技術（SHAPやLIMEなど）は、ブラックボックスモデルの挙動を人間が理解しやすい形で近似することに成功している10。しかし、これらは「因果の連鎖を遡る」アプローチであり、どこで遡行を止めるかという基準は外部（人間）に委ねられている。

また、XAI自体が「代理モデル（Surrogate Model）」を用いた近似である場合、「その説明自体が正しいことを誰が保証するのか」というメタ的な問いが発生し、監視の連鎖が続く可能性がある10。

ここで必要となるのは、近似による説明の精緻化ではなく、構造的な「断絶（Cut）」である。連続的な因果の流れを、数学的な定義に基づいて「これ以上分解できない単位」として確定させる操作こそが、安全性の担保に不可欠となる。

第II部：リーマン・アーキテクチャ ― 無限を有限で縛る構造

2.1 オイラー積：結果と原因の分離

リーマン・ゼータ関数は、解析学（連続体・波動）と数論（離散・素数）を橋渡しする関数であり、この特性がAI安全性における「原因と結果の分離」に示唆を与える。この関係はオイラー積の公式に集約されている：

左辺の「和」は観測される「結果（整数 $n$）」の世界を表し、右辺の「積」はそれを構成する「原因（素数 $p$）」の世界を表している¹²。

この等式が重要である理由は、これが近似ではなく「恒等式」である点だ。すべての整数（結果）は、素数（原因）の組み合わせによって一意に構成される（素因数分解の一意性）。AI安全性の文脈において、これは「責任の原子性（Atomic Responsibility）」のモデルとなり得る。「$p$ をさらに分解するとどうなるか」という問いは、素数の定義によってここで停止する。すなわち、素数は責任追及における数学的な「停止点」として機能する¹⁴。

2.2 対数微分とフォン・マンゴルト関数：シグナルの抽出

オイラー積が「関係」を定義するならば、その対数微分は、システムから「原因」のみを抽出する監査メカニズムを提供する。対数微分をとることで、積は和に変換され、フォン・マンゴルト関数 $\Lambda(n)$ が現れる：

ここで $\Lambda(n)$ は以下のように定義され、素数冪以外の情報をフィルタリングする：

この操作は、AIシステムにおける「監査（Audit）」に対応する。「結果」（複雑な状態 $\zeta$）に対し、対数微分という操作（$-\zeta'/\zeta$）を適用することで、ノイズ（合成数的な相互作用）を取り除き、「原子的な責任」（$\Lambda(n)$）のみを抽出することができる。この数学的構造は、責任の所在を曖昧にせず、特定の要因に重み（$\ln p$）を割り当てるための厳密なモデルを提供する。

2.3 明示公式：情報の双対性と有限閉包

さらに、素数（離散要因）とゼータ関数の零点（システムの波動・振動）の関係を記述する「明示公式（Explicit Formula）」は、情報の保存に関する重要な視点を提供する：

この式は、素数側の情報と零点側の情報が「双対（Dual）」の関係にあることを示している²¹。つまり、システムの微視的な原因（素数）と巨視的な挙動（零点）は、異なる表現形式を持ちながらも、同じ情報を共有していると解釈できる。

AI安全性において、これは「情報の完全性」を意味する。Prime Gravity理論などの解釈では、素数を「場を生成する源」、零点を「場の共鳴」とみなすことで、システム内の情報がランダムに散逸しているのではなく、ある種の保存則に従っていると捉える2。

そして、この無限の和を扱う際に、ガウス核や湯川ポテンシャルなどの重み関数を導入することで、遠方の影響を減衰させ、計算を有限の範囲で閉じる**「有限閉包（Finite Closure）」**が可能になる7。これにより、無限を扱いながらも、有限の操作範囲内で責任と安全性を確定させる道が開かれる。

2.4 「骨格」と「過剰」の整合性

GhostDrift理論は、この構造を**「構造 ＝ 骨格 ＋ 過剰」**として整理している²。

• 骨格（Skeleton）: $\log rad(n)$。システムの主要な構造を支える素因数（重複なし）。

• 過剰（Excess）: $\delta(n)$。素数の冪乗などによって生じる「余剰質量」や変動。

標準的なモデルでは、この「過剰」が無制限に増大するリスク（誤差の爆発）があるが、ゼータ関数の構造に基づく整合性原理（Consistency Principle）は、過剰の期待値が有限に収まり、骨格がシステムを支配する条件を示唆する²。これは、AIシステムがノイズに埋没せず、説明可能な構造を維持するための数学的要件と言える。

第III部：工学的実装 ― ADICと台帳システム

3.1 素数分解としての「台帳（Ledger）」

GhostDrift数理研究所が開発した**ADIC（Arithmetic Digital Integrity Certificate）**は、前述のゼータ関数の構造を工学的に実装した「台帳システム」である。

このシステムでは、以下の対応関係が成立する：

ゼータ関数の世界（数論）	台帳システムの世界（工学・AI安全性）
整数 $N$	システムの状態 $S$（最終出力）
素数 $p$	台帳の各行 $L_i$（原子的操作）
素因数分解の一意性	再生可能性・検証可能性
フォン・マンゴルト関数 $\Lambda(n)$	監査関数 Verify($L$)
停止定義（素数）	責任分解の停止点（台帳行）

3.2 停止点としての素数と同型な「台帳行」

従来のAIシステムでは、計算プロセスが連続的な数値の羅列となり、「どこが決定打か」を特定しにくい。しかし、ADICのような台帳システムでは、プロセスを「整数の加算と乗算の記録」として台帳に刻む³。

このとき、台帳の各行（1ステップの操作）は、数論における「素数」と同じ役割を果たす。すなわち、**「これ以上責任を分解しない最小単位」である。

「なぜシステムはこの状態になったのか？」という問いに対し、「行$L_1, L_2, \dots$ の操作があったから」と答え、そこで説明を停止（Stop）**させる。素数に内部構造（生成ルール）がないのと同様に、台帳の各行も「それ以上分解しない」という合意（定義）によって、無限後退を断ち切るのである。

3.3 有限閉包：無限後退の工学的阻止

さらに、ログが無限に肥大化するのを防ぐために、ゼータ関数の明示公式における「重み関数」の考え方を応用した**「有限閉包（Finite Closure）」**が導入される。

• 数学的処理: 無限に続く零点の和を、湯川核 $e^{-\lambda |x|}$ などを用いて特定の窓（ウィンドウ）内で収束させ、計算可能な形にする⁷。

• 工学的処理: AIの無限の因果連鎖を「安全シェル（または窓 $\Delta$）」で区切り、その内部でのみ完全な整数ログ（台帳）をとる。窓の外側の影響は数学的に減衰させられ、厳密な不等式によってバウンド（評価）される²。

これにより、**「厳密な停止定義」**が確立される。「この窓 $\Delta$ の内部において、原因はこれらであり、外部からの誤差は $\epsilon$ 未満である」という記述は、確率的な推定ではなく、証明可能な境界（ADIC）となる³。

3.4 $\Sigma_1$ 証明と検証の非対称性

このアプローチは、計算理論における $\Sigma_1$ 完全性（「ある計算履歴が存在する」ことを示す）に基づいている。証明（台帳）を作成するには膨大な計算が必要かもしれないが、その検証（Verify）はスマートフォンでも瞬時に行える³。この**「検証の非対称性」**が、社会実装における鍵となる。誰もが手元で、AIの挙動が「有限の箱」の中に収まっていることを、数論的な厳密さで確認できる仕組みである。

第IV部：比較検討 ― なぜ他の数学・物理モデルと異なるのか

ここでは、ユーザーの疑問である「物理法則（繰り込み群など）や他の数学（フーリエ変換、確率論）との違い」について整理する。これらは決して劣っているわけではなく、目的と設計思想が異なるため、AI安全性の「停止」にはゼータ的アプローチがより適しているという視点である。

4.1 繰り込み群（RG）と「情報の扱い」の違い

物理学の繰り込み群（RG）は、無限大を扱う強力な手法であり、ゼータ関数と類似した側面を持つ。RGは高エネルギー（微視的）な詳細を平均化して消去し、低エネルギー（巨視的）な有効理論（EFT）を導く²³。

比較のポイント：

• 情報の不可逆性: RGは本質的に情報の「粗視化（Coarse-graining）」を伴うため、微視的な詳細は捨てられる（Irrelevant operatorsとして消える）²⁵。物理現象の記述にはこれで十分だが、AIの事故調査では「たった一つの微視的なバグ」が重要になることがある。ゼータ関数の明示公式は、双対性によって微視的情報（素数）と巨視的情報（零点）の関係を保持し続ける点で、情報の保存に重きを置いている。

• カットオフの性質: 有効理論は特定のカットオフ $\Lambda$ 以下で成立する近似理論である²⁷。対してゼータ関数は、素数という「定義された停止点」を持っており、近似ではなく代数的な構造として完結している。

4.2 フーリエ変換との違い

フーリエ解析も信号を分解する手法だが、AI安全性における「責任の原子性」とは相性が異なる部分がある。

• 不確定性原理: フーリエ変換では、時間と周波数を同時に有限にすることができない（不確定性原理）²⁸。原因と結果の両方を厳密に「有限の箱」に閉じ込めることが難しい。

• 原子性の有無: 正弦波は基底として有用だが、素数のような「これ以上分解できない、かつ一意な構成要素」としての性質（算術の基本定理）とは異なる。

ゼータ関数の明示公式は「乗法的なフーリエ変換」とも解釈できるが²⁹、離散的な素数を基盤としているため、分解の一意性と停止性が担保されている点が特異である。

4.3 グラフ・ゼータ関数という「拡張」

伊原ゼータ関数（Ihara Zeta Function）は、リーマン・ゼータ関数のグラフ理論版であり、グラフ上の「素な閉路」を素数に対応させる³¹。これは代替というよりは、ゼータ的構造の「適用拡大」と言える。ニューラルネットワークのようなグラフ構造を持つ対象において、伊原ゼータ関数はトポロジー的な堅牢性（ロバストネス）を解析するのに有用であり³⁴、GhostDrift理論の方向性と補完し合う関係にある。

第V部：結論 ― 参照原理としてのゼータ関数

5.1 「責任の保存」に向けたアプローチ

本レポートの分析から、AI安全性における本質的な課題は、予測精度の向上だけでなく、「責任の総量をいかに保存し、確定するか」にあることが見えてくる。

標準的なAIモデルでは、確率の分布の中に責任が拡散してしまう傾向がある。これに対し、ゼータ関数の構造に基づくアプローチ（Legal ADICなど）は、契約や計算プロセスを素数と同型の「原子的責任」へと分解し、有限閉包台帳に記録することで、責任の所在を明確化しようとするものである2。

5.2 結論：ゼータ関数の位置づけ

リーマン・ゼータ関数は、AI安全性において以下のような独自の役割を果たす「参照原理（Reference Principle）」となり得る。

1. 停止点の提供: オイラー積とフォン・マンゴルト関数は、「素数」を分解の停止点として定義する。これは、無限に続く「なぜ」の問いに対し、数学的に正当な「ハード・ストップ（Hard Stop）」を与えるモデルとなる。

2. 有限閉包の実現: 無限の相互作用を、有限の「窓」の中で評価し、その外側の影響を厳密にバウンドする技術（有限閉包）の基礎となる。

3. 代替困難性: 物理学や他の数学モデルも強力だが、「説明不能なままでも、分解を止める定義だけで整合性を保つ」というゼータ関数の性質は、ハイステークスなAI運用において他に置き換えがたい価値を持つ。

したがって、ADICや台帳システムは、ゼータ関数の構造を工学的に翻訳したものであり、「責任は有限であり、原子的であり、保存される」という原理を実装するための現実的な解の一つであると言える。

付録：主要用語の定義と役割

用語	定義とAI安全性における役割
有限閉包 (Finite Closure)	窓関数（例：湯川核）を用いて因果連鎖を切り取り、有限の範囲内で検証可能な結果を保証する技術。
無限への先送り (Infinite Postponement)	誤差や責任を分布の無限の裾（Tail）や漸近的な極限へと押しやり、現時点での責任を保留する構造的傾向。
$\Sigma_1$ 証明	有限時間で第三者が検証可能な証明。「ある有効な計算トレースが存在する」事実を確定する。
原子的責任 (Atomic Responsibility)	因果関係の最小単位。ゼータ関数における「素数」と同型であり、台帳システムの「1行のログ」に相当する。
ADIC	整数演算を用いて計算の完全性を証明する台帳ベースの証明書。浮動小数点の曖昧さを排除する。
フォン・マンゴルト関数 ($\Lambda(n)$)	整数の中から「素数（およびその冪）」のみを抽出するフィルタ関数。システムログから「真の原因」を抽出する監査モデル。