【Ghost Drift数理】ビーコン原理とは？カオスを安定させる「観測」の数学的証明

kanna qed
12月14日
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カオスな世界に秩序が生まれる「有限閉包（Finite Closure）」の仕組み

多くの制御系や自然システムにおいて、不思議な現象が見られます。状態空間が無限に広がっている可能性があり、絶えず外乱にさらされているにもかかわらず、システムの状態（軌道）がある「有限の領域」内に留まり続けるという現象です。

我々はこれを**「有限閉包（Finite Closure）」**と呼びます。

例えば、風に吹かれる橋梁の振動が無限に発散せずある範囲に収まることや、我々の社会的な意味形成（セマンティクス）において矛盾が無限に増幅せずある程度の整合性で落ち着くことなどがこれに該当します。

Ghost Drift理論において、この現象は自然発生的なものではなく、エージェンシー（主体）による「観測」の介入によってもたらされると考えます。設計者や操作者が「どこを見るか」「何を重要視するか」を決めた瞬間、カオスになりうる世界に境界線が引かれるのです。

本稿では、このメカニズムを**「ビーコン原理（The Beacon Principle）」**として数学的に定式化します。

1. ビーコンカーネルの構成

まず、観測装置としての「ビーコン」を数学的に定義します。ビーコンは、有限の視野（ウィンドウ）と、遠くまで届く減衰（湯川ポテンシャル）、そして滑らかさ（ポアソン核）を兼ね備えた畳み込み積分として表現されます。

定義 1.1（有限ウィンドウ）

スパン $\Xi > 0$ を持つ有限ウィンドウ $w_\Xi: \mathbb{R} \to [0, \infty)$ とは、以下の条件を満たす関数です。

コンパクト台・偶性： 任意の $t$ に対して $w_\Xi(t) = w_\Xi(-t)$ であり、$\mathrm{supp}\, w_\Xi \subset [-\Xi, \Xi]$。
正規化： $\int_\mathbb{R} w_\Xi(t)\,dt = 1$。
正値性： 任意の $t$ に対して $w_\Xi(t) \ge 0$。

定義 1.2（ビーコンカーネル）

減衰パラメータ $\lambda > 0$ を持つ湯川カーネル $G_\lambda(t) := \frac{1}{2\lambda} e^{-\lambda|t|}$ と有限ウィンドウを組み合わせ、さらに平滑化スケール $\tau > 0$ のポアソン核 $P_\tau$ で平滑化したものを平滑化ビーコンカーネルと定義します。

$$K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)} := P_\tau * (w_\Xi * G_\lambda)$$

2. 一様ウィンドウ正値性（Uniform Window Positivity）

ビーコンが機能するための最も重要な数学的保証は、「観測範囲内であれば、感度が決してゼロにならない」という事実です。これを一様ウィンドウ正値性と呼びます。

定理 2.1（定量的正値性）

パラメータ $\Xi, \lambda, \tau, \Delta > 0$ に対し、観測範囲 $|t| \le \Delta$ においてカーネルは以下の厳密な下限を持ちます。

$$K_{\Xi,\lambda}^{(\tau)}(t) \;\ge\; \frac{\tau\,\Delta}{\pi\,\lambda\,(4\Delta^2+\tau^2)} \exp\bigl(-\lambda(\Xi+\Delta)\bigr) \;=:\; \delta_\star > 0$$

証明の概略: 湯川カーネルの単調減少性とポアソン核の最小値を評価することで導出されます。この定理は、有限の窓であっても、適切に設計されたビーコンであれば、数学的に保証された感度で異常や信号を検知できることを意味します。

3. 有限閉包定理（The Finite Closure Theorem）

では、このビーコンを用いた観測は、システムにどのような秩序をもたらすのでしょうか。システムが「ビーコンの観測値が大きいとき、エネルギーを散逸させる（ブレーキをかける）」ように設計されている場合、以下の強力な定理が成立します。

仮定 3.1（ビーコン散逸と強制性）

エネルギー $V(x)$ と外乱 $w(t)$ （総量 $W_\infty$）に対し、以下を仮定します。

散逸不等式： $\frac{d}{dt}V \le -\kappa \|b(x)\|^2 + \gamma \|w(t)\|^2$
強制性： $V(x) \ge R_0 \implies \|b(x)\|^2 \ge m\,V(x)$ （エネルギーが高いとき、ビーコンは必ず大きな値を検知する）