Yamadaの「明示的チェンの定理」に対する数値的完全性の証明：ADICによるデジタル検証報告

kanna qed
5 日前
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はじめに：明示的定数 N_0 への挑戦

解析数論におけるチェンの定理（Chen's theorem）は、ゴールドバッハ予想への最も重要な接近の一つとして知られています。陳景潤による1973年の証明は、「十分大きな」偶数に対して成立することを示しましたが、その「十分大きな」という閾値を具体的に特定することは、計算機科学的にも数論的にも大きな課題でした。

2015年、Tomohiro Yamada氏による論文 "Explicit Chen's theorem" は、この課題に対し、明示的な閾値 N_0 = exp(exp 36) を与え、それ以上のすべての偶数について定理が成立することを、具体的な定数 c_0 = 0.007 と共に示しました。

私たちGhostDrift Mathematical Institute (GMI) は、このYamada氏の解析的枠組みを尊重しつつ、その数値的な正当性を計算機によって完全に保証するためのプロジェクトを実施しました。本記事では、Yamada氏の定理に対し、ADIC（Arithmetic Digital Integrity Certificate：数論的デジタル整合性証明書）を発行した技術的詳細について報告します。

ADICのアプローチ：解析と検証の分離

Yamada氏の証明は、Rosser-Iwaniecの線形篩（Linear Sieve）や素数分布の明示的な誤差評価を組み合わせた、極めて精緻な不等式評価の上に成り立っています。我々は、この証明の信頼性を担保するために、証明構造を以下の2つのレイヤーに分離して実装しました。

Prime-ADIC（解析レイヤー）：素数分布や篩の重みに関する一般的な明示的境界を提供します。これはYamada氏の論文で引用されている数論的評価を、外部から参照可能な形でモジュール化したものです。
Chen-ADIC（証明書レイヤー）： Yamada氏の論文固有の数値計算部分（定数 A, B, C, D の評価）を担います。ここでは、浮動小数点演算ではなく、外向き丸め（Outward Rounding）を用いた有理数区間演算によって、計算誤差の混入を論理的に排除しています。

Σ_1 文としての証明

ADICの核心は、Yamada氏の定理の数値的部分を「有限の台帳（Ledger）」と「検証器（Verifier）」に変換することにあります。これにより、不等式の成立は「検証プログラムが True を返すか」という、Σ_1 文（有限の手続きで確認可能な命題）に帰着されます。

具体的には、以下の正規化された不等式が検証対象となりました。

我々の作成した台帳（Ledger）は、この不等式の各項を構成する定数（篩の次元パラメータやオイラー定数など）を 10のマイナス6乗精度の有理数区間として定義し、それらを積み上げた結果、最悪のケースでも 0.007 を下回らないことを、有限回の有理数演算のみで確定させました。

単調性の利用と有限化

無限に存在する N ≧ N_0 に対して、どのように有限の計算で証明を完了させたか。特筆すべきは、誤差項（特に Term C）における N に対する単調性の利用です。Yamada氏の解析的議論に基づき、主要な誤差項が N と共に減少することを確認した上で、閾値である N_0 における値を厳密に評価することで、全区間に対する証明を有限の台帳行（Row）の中に落とし込んでいます。