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GhostDrift理論「有限尊重の原理」の正体─微分包含とNagumoの定理による定式化─

Mathematical Formulation of Finite Respect Principle in Interconnected Dynamical Systems

Abstract 本稿では、GhostDrift理論の中核をなす「有限尊重の原理 (Finite Respect Principle)」について、その数理的構造を厳密に記述する。本原理は、相互作用する複数の力学系において、各系が自身の「有限閉包 (Finite Closure)」を維持するための必要十分条件を与えるものである。我々は、非滑らかな力学系（Filippov系）におけるNagumoの生存定理（Nagumo's Viability Theorem）を拡張し、系間の干渉項が自己消散項によって支配される「対角支配的な境界条件」としてRespect原理を定式化する。


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1. 序論：なぜシステムは「無限」を捨てて「有限閉包」を選ばなければならないのか

従来の制御理論やシステム工学において、システムの安全性はしばしば「無限時間における漸近安定性」や確率的な期待値として扱われてきた。しかし、GhostDrift理論は「現実には有限のリソース（計算機資源、エネルギー、物理的空間）しか存在しない」という事実を出発点とする。

ここで導入される有限尊重の原理 (Finite Respect Principle) とは、システムが有限の領域（これを「器」あるいは有限閉包と呼ぶ）から逸脱しないことを、事後的な観測ではなく、事前的な構造設計（Design-by-Contract）として保証するための公理である。

本稿では、この原理が数学的には「相互結合された微分包含系における生存可能条件（Viability Condition）」として定式化できることを示す。

2. 準備：有限閉包と力学系 (Preliminaries)

Definition 2.1 (Finite Closure / 有限閉包)

状態空間 $\mathbb{R}^n$ の部分集合 $K \subset \mathbb{R}^n$ が 有限閉包 (Finite Closure) であるとは、以下の条件を満たすことをいう：

  1. Compactness: $K$ はコンパクト集合（有界かつ閉集合）である。

  2. Regularity: $K$ は滑らかな（あるいは区分的に滑らかな）境界 $\partial K$ を持ち、内部 $\text{int}(K)$ は空ではない。

Definition 2.2 (Differential Inclusion / 微分包含)

システムのダイナミクスは、不連続性や不確実性を許容するため、以下の微分包含式で記述される：

$$\dot{x}(t) \in F(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in K$$

ここで、$F: \mathbb{R}^n \to 2^{\mathbb{R}^n}$ （集合値写像）は上半連続であり、各 $x$ に対して $F(x)$ は空でない凸コンパクト集合とする（Filippov条件）。

3. 有限尊重の原理の定式化 (Formulation of Finite Respect Principle)

複数のエージェント（またはサブシステム）$i \in \{1, \dots, N\}$ が相互作用する系を考える。各エージェントの状態を $x_i \in \mathbb{R}^{n_i}$ とし、それぞれの有限閉包を $K_i$ とする。

全体のダイナミクスは以下のように記述される：

$$\dot{x}_i \in F_i(x_i) + \sum_{j \neq i} G_{ij}(x_i, x_j)$$

ここで：

  • $F_i(x_i)$: エージェント $i$ 自身の内部ダイナミクス（自己保存や消散）。

  • $G_{ij}(x_i, x_j)$: エージェント $j$ から $i$ への干渉（Interference）。

3.1. Nagumoの生存条件 (Nagumo's Viability Condition)

単独の系 $\dot{x} \in H(x)$ が閉集合 $K$ に留まり続ける（Viableである）ための必要十分条件は、Nagumoの定理より以下で与えられる：

$$\forall x \in \partial K, \quad H(x) \cap T_K(x) \neq \emptyset$$

ここで、$T_K(x)$ は $x$ における $K$ のBouligand接錐 (Tangent Cone) である。 境界が滑らかで、外向き法線ベクトル $n(x)$ が定義できる場合、この条件は次のように簡略化される：

$$\exists v \in H(x) \text{ such that } \langle v, n(x) \rangle \le 0$$

3.2. Respect条件の導出

相互作用系において、エージェント $i$ が他者 $j$ の状態に関わらず自身の有限閉包 $K_i$ を維持するためには、最悪ケースの干渉を受けてもなお、境界におけるベクトル場が内向き（あるいは接方向）でなければならない。

Definition 3.1 (Finite Respect Condition) エージェント $i$ が有限尊重の原理を満たすとは、任意の境界点 $x_i \in \partial K_i$ および任意の他者状態 $x_j \in K_j$ に対して、以下の不等式が成立することをいう：

$$\sup_{u \in F_i(x_i)} \langle u, n_i(x_i) \rangle + \sum_{j \neq i} \sup_{w \in G_{ij}(x_i, x_j)} \langle w, n_i(x_i) \rangle \le 0$$

この不等式は、GhostDrift理論における「リスペクト」の定量的定義である。

  • 第1項 $\langle u, n_i \rangle$：自己消散 (Self-Dissipation)。負の値（内向き）をとることで安定性を生む。

  • 第2項 $\langle w, n_i \rangle$：干渉 (Interference)。正の値（外向き＝侵害）をとりうる。

すなわち、「自己が境界から離れようとする内向きの力（謙譲・遠慮）」が「他者から押し込まれる外向きの力（干渉）」を常に上回っていること、これが有限尊重の数学的実体である。

3.3. ゲルシュゴリン型支配 (Gershgorin-type Dominance)

上記の条件は、行列理論におけるゲルシュゴリンの円板定理（対角支配行列の安定性）の非線形・集合値拡張と解釈できる。

$$\underbrace{- \alpha_i(x_i)}_{\text{Internal Stability}} + \sum_{j \neq i} \underbrace{\beta_{ij}(x_i, x_j)}_{\text{Interaction Bound}} \le 0$$

ここで $\alpha_i$ はシステムの「行儀の良さ（安定化能力）」、$\beta_{ij}$ は「他者への影響力」を表す。この不等式が成立するとき、システム全体は個々の有限閉包 $K_1 \times \dots \times K_N$ の直積集合内に永遠に留まることが保証される。

4. $\Sigma_1$論理による検証可能性 ($\Sigma_1$-Verifiability)

数学的な存在証明だけでなく、工学的な実装においては「計算可能」であることが求められる。

GhostDrift理論において、有限尊重の原理は $\Sigma_1$ 文（存在記号 $\exists$ のみで構成される論理式、あるいは半決定可能な述語）として記述されるべきである。

$$\text{Verify}(x) \iff \text{Check}(\langle F(x), n(x) \rangle \le -\epsilon)$$

有限閉包 $K$ を多面体（Polytope）や区間演算可能な集合として定義することで、Respect条件の破れは有限ステップで検知可能（Refutable）となり、逆に条件が満たされている状態は構成的（Constructive）に維持される。

5. 結論 (Conclusion)

有限尊重の原理とは、道徳的な規範ではなく、力学系が崩壊せずに共存するための幾何学的・代数的な制約条件である。 それは、「無限のキャンバス」を前提とするのではなく、互いに排他的な「有限の器」を前提とし、その境界上でのフラックス収支を厳密に負（内向き）に保つことで、全体としての調和（Global Harmony）を局所的な規律（Local Contract）のみから創発させる数理モデルであると言える。

Reference: GhostDrift Research Institute, "Finite Respect Principle Mathematical Notes", 2025.

 
 
 

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