有限閉包（Finite Closure）の学術的ポジショニングと先行研究の構造的分析

有限閉包とコンパクト化は何が違うか？

本稿は、計算機上のAI運用における「検証不能な無限（連続体・無限精度・無限因果）」への依存を、明示的な境界仕様により切断し、監査可能な有限領域に閉じる枠組みとして 有限閉包（Finite Closure） を定義する。有限閉包は、(i) 評価・監査の対象領域を Window-Spec として固定し、(ii) 数値計算の不確実性を 外向き丸め と 区間表現 で包含し、(iii) 実行ログを改ざん困難な 台帳（Ledger） により凍結することで、運用後の「基準の後付け」および「説明責任の蒸発」を構造的に防ぐ。さらに、有限閉包の学術的位置付けを、超有限主義、EFT的カットオフ、区間演算、情報熱力学、限定合理性の各系譜の交点として整理し、監査の反証可能性（PASS/FAIL）の形式を提示する。

Contributions

1. 有限閉包の形式定義：境界仕様・停止規則・台帳・包含保証による最小定義。

2. “後付け不能な評価”の必要条件：固定化すべき対象の最小集合（Boundary Spec）の特定。

3. 監査プロトコルの反証可能性：入力→有限不等式→PASS/FAIL の閉形式の提示。

4. 学術的ポジショニング：既存の数学・物理・計算・熱力学・倫理との対応関係の整理。

序論：有限資源下での「責任確定」を可能にする境界仕様としての有限閉包

21世紀の計算科学・数理物理・AI運用は、『実数の無限精度』を前提にした理論記述と、『有限資源の計算機・物理装置』の上で動く実装のあいだに、不可避のギャップを抱えている。 微分積分学の成功は連続体モデルを強力な道具にしたが、AIが社会制度や意思決定に入り込む現在、このギャップは「検証不能な誤差」「後付けの評価改変」「責任所在の蒸発」といった運用上の失敗として顕在化する。

この記事が提案するFinite Closure（有限閉包）は、このギャップを数学的に埋めるための概念枠組みである。無限を否定する主張ではなく、運用上の責任を確定するために『境界を仕様として宣言し、固定し、その境界の内側でPASS/FAILを決定する』という設計を与える。 本稿では、Finite Closureを「計算機科学における区間演算・外向き丸め」「超有限主義の有限性要請」「量子・熱力学の情報制約」を踏まえた、監査可能な評価の定式化として位置づける。

第0章 Finite Closure の最小定義と検証可能な主張

本報告書では、有限閉包を以下の3要素と検証可能な主張によって最小定義する。

0.1 境界仕様（Boundary Spec）

Finite Closureでまず固定するのは、対象問題そのものではなく『評価が依拠する境界仕様』である。境界仕様 $B$ は、少なくとも次のタプルで与える：

$$B := (D, M, \theta, G, \rho, R, S)$$

• $D$ : 評価データ（入力集合、参照値、取得条件、除外規則を含む）

• $M$ : 評価指標（損失/精度/スコア関数）

• $\theta$ : PASS/FAIL を決める閾値（または安全条件の集合）

• $G$ : 計算グラフ（演算の結合順序・並列還元順序を含む）

• $\rho$ : 丸め方針（IEEE 754の丸めモード、区間演算の外向き丸め規則など）

• $R$ : 資源制約（時間、メモリ、精度、エネルギー/推論コストなど）

• $S$ : 乱択要素の固定（seed、サンプリング規則、シャッフル規則など）

ここで重要なのは、$(G, \rho)$ を境界仕様の内部に含めることである。浮動小数点は一般に非結合であり、結合順序が変わるだけで「実数として意図した値」が変化し得るため、順序自体が仕様である。

0.2 Fixation（非遡及性）

Fixationとは、ある意思決定に一度用いた境界仕様 $B$ を、その後に遡って変更できないようにすることを指す。実装としては、$B$ の内容（および参照実装のハッシュ）を Certificate $C$ としてコミットし、以後の監査・再計算は常に同じ $C$ を参照する。

0.3 Decision（PASS/FAIL）

Decisionは、境界仕様 $B$ の下で評価値を計算し、その結果を PASS/FAIL に写像する写像 $\text{Decide}_B : X \to \{\text{PASS}, \text{FAIL}\}$ である。Finite Closureは、$\text{Decide}_B$ の出力が『監査者に対して再現可能』であることを最優先要件とする。

0.4 監査可能性の主張（最小コア）

Finite Closureが狙う主張は、次の一文に圧縮できる：

『同一のCertificate $C$（=固定された境界仕様 $B$）に対して、監査者が $\text{Verify}(C, L) = \text{true}$ を確認できる限り、意思決定の PASS/FAIL は再現され、後付けの評価改変は検知される。』

ここで $L$ は追記型レジャー（入力・中間区間・最終区間・ハッシュ等のログ）、Verifyは $C$ と $L$ の整合性を検証する手続きである。

0.5 限界ケース（決定不能）：区間が安全条件を跨ぐ場合

Finite Closure は外向き丸めと区間演算により、評価値を真値を含む区間 $I_B(x) = [v_L, v_U]$ として算出する（包含保証）。しかし区間幅が大きい場合、固定された安全条件に対して PASS/FAIL を一意に分離できないことがある。

このため Decision は二値ではなく三値として定義される。安全条件を実数上の集合 $\text{Safe}_B \subset \mathbb{R}$ とするとき、

$$\text{Decide}_B(x) = \begin{cases} \text{PASS} & (I_B(x) \subseteq \text{Safe}_B) \\ \text{FAIL} & (I_B(x) \cap \text{Safe}_B = \emptyset) \\ \text{INDETERMINATE} & (\text{otherwise}) \end{cases}$$

ここで $\text{INDETERMINATE}$ は「包含保証の下で判定が分離できない」ことを意味し、運用上は fail-closed により FAIL（利用禁止） として扱う。従って Finite Closure における PASS は「固定された境界仕様の下で、区間が安全集合に完全包含される」という強い主張であり、区間幅（資源制約 $R$、停止規則、丸め方針 $\rho$）を改善して分離を達成できない限り、合格宣言は許されない。

第1章 数理的基盤（数論・論理）：有限手続きと可構成性の系譜

1.1 実無限への反逆：クロネッカーからブラウワーへの系譜

数学における「無限」の扱いは、常に論争の火種であった。現代数学の主流である集合論的プラトニズムに対し、19世紀末から存在する構成主義的な抵抗運動は、現代の計算機科学的マニフェストとして再評価できる。 レオポルド・クロネッカー（Leopold Kronecker）の「神は整数を作った…」という言葉は、数学的対象の「存在」を、有限の手続き（アルゴリズム）による「構成可能性」に限定すべきだという主張である。

$$R1$$

この思想は、20世紀のL.E.J.ブラウワー（L.E.J. Brouwer）の直観主義（Intuitionism）へと継承された。ブラウワーは、無限集合に対する「排中律（Law of Excluded Middle）」の無制限な適用を拒否した。検証不可能な領域に対して真偽を決定することは、構成的ではないからである。

$$R2$$

GhostDriftにおける有限閉包の思想は、この系譜に共鳴する。AIのパラメータ空間は連続的に見えるが、実際には離散的な格子点上にしか存在しない。構成可能な（計算可能な）領域のみを「閉包」として定義し、その内部でのみ真理を語るべきである。

1.2 超有限主義（Ultrafinitism）の現代的展開

「超有限主義（Ultrafinitism）」は、計算機科学と物理学の要請から、「可能無限」さえも物理的制約の下で制限する立場をとる。 Doron Zeilbergerは、現代の解析学（Real Analysis）を「離散解析の退化したケース（degenerate case）」と断じ、連続体は現実世界の近似に過ぎないと主張する。

$$R2$$

超有限主義の核心的な問いは、「物理的に表現不可能な巨大な数は、本当に数として存在するのか？」という点にある。Alexander Esenin-Volpinらが指摘するように、自然数の列はある地点で「物理的な限界」や「計算の壁」に突き当たり、数学的な性質が変質する可能性がある。 GhostDriftの研究において、この視点は極めて重要である。AIモデルの検証空間のうち、実際に検証可能なのは「計算資源と時間の制約内」で到達可能な部分集合（Feasible Region）のみである。到達不可能な領域を「定義域外」として切り捨てる（Cut-off）ことの正当性を、超有限主義は支持する。

$$R3$$

1.3 「実現可能な数」と計算複雑性の壁

Rohit Parikhは「実現可能な数（Feasible Numbers）」という概念を提唱し、論理的定義と物理的実行可能性の乖離に光を当てた。数学的には定義可能であっても、計算機科学的あるいは認知資源の視点からは「実現不可能（unfeasible）」な数が存在する。

$$R3$$

Vladimir Sazonovはこの矛盾を解決するために、算術体系そのものに「実現可能性」の概念を組み込んだ。

$$R4$$

GhostDriftの「有限閉包」は、この「計算の壁」を能動的に利用する。AIの挙動空間全体を検証することは不可能であっても、特定の「ウィンドウ」や「リソース制約」の下で定義される部分空間については、完全な全数探索や形式検証が可能となる。

1.4 連続体の神話と離散的現実：物理学からの要請

物理学者Nicolas Gisinは、実数（Real Numbers）が「無限の情報」を含んでいることを問題視し、現代物理学が直面する非決定性の問題と結びつけている。有限の体積を持つ空間領域に無限の情報を詰め込むことは、ブラックホールエントロピーの限界（ベッケンシュタイン境界）により物理的に不可能である。

$$R5$$$$R14$$

Gisinによれば、古典力学におけるカオスや、量子力学における測定の非決定性は、初期値が無限の精度を持たない（＝有限の情報しか持たない）ことに起因する。彼は「時間の経過とは、新たな情報の創造である」と表現する。

$$R5$$

AIモデルの推論プロセスを離散的な状態遷移として再定義し、そのすべてのステップを有限のビット数で表現される「レジャー」に記録することで、この「情報の創造（非決定性）」を、システムが許容する「精度の範囲内」に封じ込めることができる。

$$R14$$

第2章 物理学的基盤：有限観測・カットオフ・参照系の有限性

2.1 量子力学における「カットオフ」の存在論的地位

場の量子論（QFT）における「カットオフ（Cut-off）」や「繰り込み（Renormalization）」は、有効場の理論（Effective Field Theory: EFT）の発展により、自然界の階層構造を反映した「物理的実在」として理解が進んでいる。

$$R7$$

EFTの視点では、あるエネルギースケール $\Lambda$（カットオフ）を超えた高エネルギー領域の物理法則は、低エネルギー領域の観測者にはパラメータ（質量や結合定数）に「繰り込まれる」形でしか影響を与えない。無限小の点まで理論が成立すると仮定すること（$\Lambda \to \infty$）こそが、物理的に不自然な理想化なのである。 GhostDriftにおける「有限閉包」は、このEFTの哲学を応用し、適切な「情報的カットオフ」を設定することで、システム内部（閉包内）における安定した因果律と予測可能性を確立する。

2.2 トホーフトのセル・オートマトン解釈と決定論的宇宙

Gerard 't Hooftの「セル・オートマトン解釈（CAI）」は、量子力学をより深いレベルにある決定論的な離散システムの振る舞いとして記述する理論である。

$$R18$$

• 存在論的基底（Ontological Basis）： 宇宙が実際に取ることのできる「真の状態」は、特定の基底ベクトルに限られる。

• 有限性と格子構造： 時空が格子（Lattice）状であり、宇宙の情報量が有限であることを前提とする。

  $$R18$$

もし宇宙の根源がセル・オートマトンであるならば、人工物であるAIモデルもまた、原理的には完全に決定論的なセル・オートマトンとして記述・制御可能であるはずだ。有限閉包のアプローチは、AIを連続体近似から引き出し、本来の離散的・決定論的な姿へと「還元」する試みである。

2.3 量子参照系（Quantum Reference Frames）と有限リソースの制約

近年の「量子参照系（Quantum Reference Frames: QRF）」の研究は、参照系自体もまた量子力学的な法則に従う物理系であり、有限の自由度とエネルギーしか持たないことを明らかにしつつある。

したがって、本報告書は『無限回の試行に基づく頻度極限』を運用前提には置かない。量子参照系そのものが有限の物理系である以上、参照系のサイズ・エネルギー・コヒーレンス時間が測定精度を制約し、推定誤差には下限が生じる。これにより、『理論上は確率 $p$』という主張を、有限資源の監査条件（Boundary Spec）に落として扱う。

$$R7$$

2.4 マクスウェルの悪魔と観測の熱力学的コスト

情報熱力学における「マクスウェルの悪魔」の解決（ランダウアーの原理）は、情報の物理的コストを示す。情報を物理的に消去するプロセスには、必ず熱エネルギーの放出が必要である。

$$R15$$$$R16$$

悪魔（観測者）のメモリが有限である以上、必然的に情報を「忘却（消去）」あるいは「圧縮」しなければならない。GhostDriftの「有限閉包」における「停止規則（Stopping Rule）」は、この熱力学的コストに基づいて、情報の流入と流出のバランスを管理する境界条件として機能する。

第3章 計算基盤：再現性・包含性・外向き丸め

注記： 本章で扱う区間演算・外向き丸め・台帳固定・Prime Gravityは、第0章で与えた有限閉包の最小定義(A)(B)(C)を満たすための実装構成である。有限閉包そのものは(A)(B)(C)で定義され、以下はその具体化（sufficient constructions）として位置づける。

3.1 IEEE 754浮動小数点演算における非決定性の病理

現代の計算機科学の基盤であるIEEE 754浮動小数点演算は、「非結合性（Non-Associativity）」という性質を持つ。 例：IEEE 754では、$(10^{16}+1)-10^{16}=0$ となる（1が丸めで落ちる）。

$$R10$$

一方、$10^{16}+(1-10^{16})$ は $10^{16}+(-10^{16})=0$ となり得て、実数の意味での 1 とは一致しない（結合順序依存）。

さらにGPU上の並列還元（reduction）では、スレッド配置やスケジューリング等により結合順序が変化し得るため、同一入力でも最終結果がブレ得る（再現不能性）。 この微細な差異が非線形なAIモデルにおいて増幅され、最終的な推論結果を逆転させるリスクがある。

3.2 区間演算（Interval Arithmetic）と真理の包含

GhostDriftは、この問題に対し「区間演算（Interval Arithmetic）」を採用する。 基本演算の積は次のように定義される：

$$[x_L, x_U] \times [y_L, y_U] = [\min(x_L y_L, x_L y_U, x_U y_L, x_U y_U), \max(x_L y_L, x_L y_U, x_U y_L, x_U y_U)]$$

さらに「外向き丸め（Outward Rounding）」を導入する。 これにより、境界仕様で定めた外向き丸め（directed rounding）を各演算に適用する限り、計算された区間 $[X_L, X_U]$ は、その仕様が意図する実数演算の真値 $X$ を必ず含む（包含保証）。環境差や並列化は区間幅に影響し得るが、『真値を含む』という性質は保持される。

$$R11$$$$R12$$

3.3 Prime Gravityプロトコルと外向き丸め：GhostDriftの解答

GhostDrift数理研究所が開発した「Prime Gravityプロトコル」は、区間演算の思想を、分散型台帳（Ledger）を用いたAI監査プロトコルへと昇華させたものである。

Prime Gravityでは、(i) 境界仕様 $B$ をCertificate $C$ として固定し、(ii) その $C$ の下で生成された計算ログ（入力・中間区間・最終区間・ハッシュ・残余表現など）を追記型レジャー $L$ に刻む。監査者は同じ $C$ の下で再計算し、 $L$ と一致することを $\text{Verify}(C, L)$ で検証する。評価者が丸め規則・除外規則・閾値などを変更すれば、 $C$ 不一致または $L$ 不一致として検知される。CRTは残余表現から整数（必要に応じてスケーリングした有理数）を復元する構成要素であり、完全性はレジャーのコミットメントにより担保される。 これにより「評価の後付け」が残余表現とレジャーの不整合として検知され、従来「解釈の自由」によって無限に逃げてきた領域に「境界仕様の内側での説明責任」を導入できる。

3.4 評価プロトコル（反証可能性）

本枠組みは次の形式で検証される：

1. 事前固定：$B$（Window-Spec, 丸め規則, 停止規則, 評価関数）をFixする。

2. 実行：$\text{FC}(B,x)$ を走らせ、区間列と台帳を生成する。

3. 検証：$\text{Verify}(ledger, B)$ を実行し、

   • PASS：固定仕様の下で包含性と完全性が成立。

   • FAIL：どこかで仕様逸脱／記録欠落／改変が発生。

このとき、FAILは「運用上の不正・逸脱・再現不能」を意味し、結果の利用（安全宣言・合格判定）を禁止する。

第4章 応用的含意（補助）：停止規則・責任局所化・制度設計

4.1 和辻倫理学と空間的有限性

和辻哲郎の倫理学における「空間性」は、人間が「境界を持つ」共同体の中で倫理的主体となることを示唆する。GhostDriftは、デジタル空間を「有限閉包」によって区切られた「信頼の空間」として再構築し、エージェント間の「間柄」と相互責任を定義可能にする。

4.2 限定合理性と停止規則

ハーバート・サイモンの「限定合理性」は、有限のリソースしか持たない主体にとって、適切なタイミングで探索を「停止（Stop）」し、決断を下すことの重要性を説く。有限閉包における「停止規則」の強制は、無限後退を阻止し、不完全な情報下での決断に対する責任を引き受ける倫理的態度の実装である。

4.3 責任ギャップの解消

「責任の局所化」と「レジャーによる因果の固定」により、有限閉包はAI事故における因果の無限後退を断ち切り、責任の所在を明確にする「結び目」を提供する。

第5章 統合：数論的窓（重み）・境界仕様・因果の局所化

5.1 ゼータ関数正規化としての有限閉包

無限級数の発散に対するゼータ関数正規化と同様に、有限閉包は「重み関数（Weight Function）」としての「評価ウィンドウ」を導入する。これにより、無限の因果の中から工学的に扱える「有効な有限領域」を切り出し、収束させる。

5.2 コンパクト化との関係（位置づけ）：包摂ではなく遮断による責任確定

本章の用語は比喩としての『次元の開閉』であり、位相空間のコンパクト化定理や弦理論の物理モデルを本稿の証明に用いない。そのうえで、弦理論におけるコンパクト化は、Finite Closureの直観（境界の開閉と次元増殖）を説明する比喩として有効である。

位相的コンパクト化は、空間を完備にするために無限遠点等を付加し、対象を「包摂」する操作である。これにより解析・位相の道具立てが適用可能になる。一方、有限閉包は、無限を含む対象そのものを数学的に否定するのではなく、判断と監査の観点から「境界仕様を宣言し、境界外を対象外として遮断する」操作である。すなわち、コンパクト化が「数学構造の完備化」を目的とするのに対し、有限閉包は「監査可能性と責任確定」を目的とする。 この差分は比喩ではなく、(A)境界仕様、(B)固定、(C)判定という最小定義に直結する。

5.3 統合的構造分析

領域	従来のパラダイム（無限・連続・開放）	GhostDrift「有限閉包」パラダイム（有限・離散・閉鎖）
数学	実無限、連続体仮説	超有限主義、実現可能な数、構成的証明 $$R2$$$$R3$$
物理学	量子力学（標準）、無限の時空	セル・オートマトン、量子参照系、カットオフ $$R7$$$$R18$$
計算	浮動小数点（非決定性）	区間演算・外向き丸め、完全な包含性 $$R10$$$$R11$$
熱力学	マクスウェルの悪魔（無限メモリ）	有限メモリの悪魔（忘却コスト、停止規則） $$R15$$
倫理	無限責任、普遍的個人	空間的間柄、責任の局所化、限定合理性

本提案の差分（最小形）

区間演算や形式手法は既存に存在するが、本提案はそれらを 運用ガバナンスの“後付け不能”要件 として統合し、

1. 境界仕様の事前固定（Window-Spec / 停止規則）

2. 数値の包含保証（外向き丸め＋区間）

3. 実行の凍結（台帳）

を「三点セットの必須条件」として最小化し、監査を PASS/FAIL で閉じる点に新規性がある。

結論

GhostDrift数理研究所は、「有限閉包（Finite Closure）」を、有限資源下での監査可能性と責任確定を成立させるための境界仕様原理として定式化する。本報告書は、その最小定義(A)(B)(C)と、数理・物理・計算に跨る先行研究の接続を提示した。今後は、(A)(B)(C)を満たす具体プロトコル（区間演算・外向き丸め・台帳固定・Prime Gravity）について、再現可能な実験・実装ログとともに検証可能性を強化する。

参考文献

• L. Kronecker, (Lecture/Remark regarding integers), 1886.

• Doron Zeilberger, "Real" Analysis is a Degenerate Case of Discrete Analysis, in New Progress in Difference Equations (Proc. ICDEA 2001), Taylor & Francis, 2004.

• Rohit Parikh, "Existence and Feasibility in Arithmetic," Journal of Symbolic Logic 36(3), 1971, 494–508.

• V. Yu. Sazonov, "On Feasible Numbers," in D. Leivant (ed.), Logic and Computational Complexity (1995).

• Nicolas Gisin, "Real Numbers Are Not Real" (Essay/Talk), 2019.

• S. D. Bartlett, T. Rudolph, R. W. Spekkens, "Reference frames, superselection rules, and quantum information," Rev. Mod. Phys. 79, 555 (2007).

• IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic, IEEE Std 754-2019.

• R. E. Moore, Interval Analysis, Prentice-Hall, 1966.

• IEEE Standard for Interval Arithmetic, IEEE Std 1788-2015.

• J. D. Bekenstein, "A universal upper bound on the entropy to energy ratio for bounded systems," Phys. Rev. D 23, 287 (1981).

• R. Landauer, "Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process," IBM Journal of Research and Development 5(3), 1961.

• C. H. Bennett, "The thermodynamics of computation—A review," Int. J. Theor. Phys. 21, 905–940 (1982).

• Gerard ’t Hooft, The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics, Springer, 2016.

特願2025-285207出願済